Vamos a estudiar la función $f(x)=\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right), x \epsilon[0,2 \pi]$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Máximos y mínimos absolutos}$. En este caso, $f$ está definida en un intervalo cerrado y acotado, $[0,2 \pi]$, y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que $f$ va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo. $\textbf{1)}$ Empecemos derivando $f$

\( f'(x) = 2 \cos(\frac{x}{2}) \cdot (-\sin(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} \) 

Reacomodamos:

\( f'(x) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right) \)

De nuevo, a no desperar. La complejidad de este ejercicio pasa por cómo trabajar con esta ecuación. Te repito lo mismo que en el item anterior, jamás vi que tomaran algo así en un parcial o final de UBA XXI. Te muestro cómo se puede terminar de resolver. 

Acá podríamos aplicar la identidad trigonométrica \( \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \) para simplificar la derivada y facilitar el despeje después cuando la igualemos a cero. Usando esto, podemos reescribir $f'(x)$ como:

\( f'(x) = -\frac{1}{2} \sin\left(x\right) \)

$\textbf{2)}$ Igualamos $f'$ a cero y despejamos:

$-\frac{1}{2} \sin\left(x\right) = 0$ $ \sin(x) = 0$

En el intervalo $[0,2\pi]$ el seno vale cero en $0$, $\pi$ y $2\pi$. Por lo tanto, estos son nuestro puntos críticos.

$\textbf{3)}$ Evaluamos $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $f(0) = 1 \rightarrow$ Máximo absoluto $f(\pi) = 0 \rightarrow$ Mínimo absoluto $f(2\pi) = 1 \rightarrow$ Máximo absoluto