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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.4. Dadas las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x), indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
f) f(x)=cos⁡2(x2),xϵ[0,2π]f(x)=\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right), x \epsilon[0,2 \pi]

Respuesta

Vamos a estudiar la función f(x)=cos⁡2(x2),xϵ[0,2π]f(x)=\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right), x \epsilon[0,2 \pi] siguiendo la estructura que vimos en las clases de Maˊximos y mıˊnimos absolutos\textbf{Máximos y mínimos absolutos}. En este caso, ff está definida en un intervalo cerrado y acotado, [0,2π][0,2 \pi], y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que ff va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo. 1)\textbf{1)} Empecemos derivando ff

f′(x)=2cos⁡(x2)⋅(−sin⁡(x2))⋅12 f'(x) = 2 \cos(\frac{x}{2}) \cdot (-\sin(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2}  

Reacomodamos:
f′(x)=−cos⁡(x2)sin⁡(x2) f'(x) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right)

De nuevo, a no desperar. La complejidad de este ejercicio pasa por cómo trabajar con esta ecuación. Te repito lo mismo que en el item anterior, jamás vi que tomaran algo así en un parcial o final de UBA XXI. Te muestro cómo se puede terminar de resolver. 

Acá podríamos aplicar la identidad trigonométrica sin⁡(x)=2sin⁡(x2)cos⁡(x2) \sin(x) = 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) para simplificar la derivada y facilitar el despeje después cuando la igualemos a cero. Usando esto, podemos reescribir f′(x)f'(x) como:

f′(x)=−12sin⁡(x) f'(x) = -\frac{1}{2} \sin\left(x\right)

2)\textbf{2)} Igualamos f′f' a cero y despejamos:

−12sin⁡(x)=0-\frac{1}{2} \sin\left(x\right) = 0 sin⁡(x)=0 \sin(x) = 0

En el intervalo [0,2π][0,2\pi] el seno vale cero en 00, π\pi y 2π2\pi. Por lo tanto, estos son nuestro puntos críticos.

3)\textbf{3)} Evaluamos ff en los puntos críticos y en los extremos del intervalo f(0)=1→f(0) = 1 \rightarrow Máximo absoluto f(π)=0→f(\pi) = 0 \rightarrow Mínimo absoluto f(2π)=1→f(2\pi) = 1 \rightarrow Máximo absoluto


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